Download to read offline
More Related Content
Similar to 1 POLA BILANGAN DAN BARISAN BILANGAN.pptx
1 POLA BILANGAN DAN BARISAN BILANGAN.pptx
- 1. Pola Bilangan dan BarisanBilangan
- 2. • Membuat generalisasidari pola pada barisan bilangan dan barisan konfigurasi objek. • Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pola pada barisan bilangan dan barisan konfigurasi objek. KOMPETENSI DASAR
- 3. • Menyatakan masalahsehari-hari yang berkaitan dengan pola bilangan dan barisan bilangan. • Mengenal unsur-unsur pada pola bilangan dan barisan bilangan seperti suku pertama, suku berikut, beda, dan rasio. • Membedakan barisan aritmetika dan barisan geometri. • Menentukan dan menghitung suku ke-n pada barisan aritmetika dan barisan geometri. • Menggunakan konsep pola bilangan dan barisan bilangan dalam kehidupan. PENGALAMAN BELAJAR
- 4. Terjun payung dapatdilakukan dari pesawat terbang dengan ketinggian tertentu. Penerjun dapat terjun dan terbang bebas di udara dengan kecepatan tinggi mencapai lebih dari 100 km/jam. Pada penerjunan berkelompok, masing-masing penerjun dilengkapi dengan parasut berbahan elastis serta tambahan bahan menyerupai sayap, sehingga dapat membantu mereka untuk melayang di udara secara horizontal serta memperlambat laju ke bawah. Selain itu, dengan peralatan seperti di atas, para penerjun dapat membuat formasi tertentu secara berkelompok sehingga membentuk pola tertentu.
- 5. Sejarah tentang bilangansegitiga yang dikenal dengan segitiga Pascal, diawali dengan penemuan sebuah buku kuno India, Shastra Chandas yang ditulis dalam bahasa Sansekerta pada abad ke-10 yang berisi tentang keterkaitan segala sesuatu dengan alam semesta. 1.1 PENEMU SEGITIGA PASCAL
- 6. Pada kurun waktuhampir sama, segitiga Pascal ditemukan oleh matematikawan Persia (Iran), Al-Karaji (953−1029) dalam menyelesaikan binomial (x + y)n dengan menggunakan bilangan segitiga sebagai koefisiennya. Satu abad kemudian, matematikawan Persia lainnya yang juga merupakan astronom dan sastrawan (penyair), yaitu Omar Khayyam (1048−1131), mengembangkan topik yang sama sehingga bilangan segitiga tersebut di Iran disebut “segitiga Khayyam”.
- 7. Pascal berhasil mengembangkanbilangan segitiga yang ada sebelumnya ke dalam berbagai aplikasi melalui Teori Binomialnya. Oleh karena itu, bilangan segitiga tersebut lebih dikenal sebagai segitiga Pascal yang diunggah oleh seorang ilmuwan dan matematikawan Perancis bernama Blaise Pascal (1623−1662). Bilangan pada segitiga Pascal dapat digunakan untuk menentukan koefisien pada penjabaran pemangkatan suku dua (a + b)n, menentukan banyak himpunan bagian dari suatu himpunan secara terperinci, dan menentukan keanggotaan himpunan kejadian pada percobaan dalam teori peluang.
- 8. 1.2 MENGENAL POLABILANGAN Susunan benda (objek) atau bangun geometri yang teratur dalam pembentukannya dapat membentuk pola-pola bilangan yang menarik. Gambar 1.4 (i) menunjukkan formasi atau susunan bola bilyard. Pada susunan bola tersebut berturut-turut terdapat 1 bola, 2 bola, 3 bola, 4 bola, dan 5 bola, sehingga terbentuk susunan bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 yang merupakan pola bilangan asli.
- 9. Gambar 1.4 (ii)menunjukkan susunan bangun-bangun persegi panjang yang menutupi irisan cangkang keong, di mana masing- masing persegi panjang tersebut mewakili sebuah bilangan, sehingga membentuk susunan bilangan 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, dan 55 yang disebut dengan pola bilangan Fibonacci. Pada pola bilangan Fibonacci, sebuah bilangan diperoleh dari hasil penjumlahan dua buah bilangan yang tepat berada di depannya.
- 10. Pola bilangan merupakansusunan atau rangkaian objek yang dibentuk dengan aturan tertentu. Dengan demikian, bilangan- bilangan berikutnya pada suatu pola bilangan dapat kita tentukan jika aturan pembentukannya diketahui. Bilangan-bilangan yang terdapat pada sebuah pola bilangan disebut suku, misalnya pada pola bilangan 1, 3, 7, 15, . . . , terdapat suku-suku berikut: • 1 disebut suku pertama, • 7 disebut suku ketiga, • 3 disebut suku kedua, • 15 disebut suku keempat.
- 11. Contoh: 1. Gambar di atasmenunjukkan susunan batang korek api yang membentuk pola bilangan. a. Gambarlah satu suku berikutnya untuk pola bilangan di atas! b. Tulislah susunan bilangan yang menyatakan banyak batang korek api pada pola di atas, kemudian tentukan aturan pembentukannya! 2. Tulislah aturan untuk pembentukan pola bilangan berikut, kemudian tuliskan dua suku berikutnya! a. 6, 13, 20, 27, . . . b. 1, 3, 6, 10, . . .
- 12.
- 14. 1.3 RAGAM POLABILANGAN 1.3.1 Pola Bilangan Persegi
- 17. Contoh: 1. Pada polabilangan persegi, tentukan suku ke-18 dengan menggunakan rumus! Suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi adalah 𝑃𝑛 = 𝑛2 Suku ke-18 adalah 𝑃18 = 182 𝑛 diganti 18 = 324. Jawab: 2. Tentukan jumlah dua puluh lima bilangan ganjil yang pertama! Jawab:
- 18. 3. Jika sukuke-𝑛 pada pola bilangan persegi adalah 196, tentukan banyak bilangan (suku) pada pola bilangan tersebut! Suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi adalah 𝑃𝑛 = 𝑛2, maka: 𝑃𝑛 = 𝑛2 196 = 𝑛2 𝑛 = 14 Jadi, banyak bilangan (suku) pada pola bilangan persegi tersebut adalah 14. Jawab:
- 19. 1.3.2 Pola BilanganPersegi Panjang
- 20. Contoh: 1. Pada polabilangan persegi panjang, tentukan suku ke-14 dengan menggunakan rumus! 2. Tentukan jumlah bilangan 2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 22 suku! 1. Suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi panjang adalah 𝑅𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) Suku ke-14 adalah 𝑅14 = 14 × (14 + 1) 𝑛 diganti 14 = 14 × 15 = 210. 2. 2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 𝑛 suku = 𝑛(𝑛 + 1). 2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 22 suku = 22 × (22 + 1) 𝑛 diganti 22 = 22 × 23 = 506. Jadi, jumlah bilangan 2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 22 suku adalah 506. Jawab:
- 21. 3. Jika sukuke-𝑛 pada pola bilangan persegi panjang adalah 9.702, berapakah nilai 𝑛? Kita mencari bilangan asli berurutan, yaitu 𝑛 dan (𝑛 + 1) yang hasil kalinya 9.702. Kedua bilangan itu tidak mungkin lebih dari 100, karena 99 × 100 = 9.900 dan 100 × 101 = 10.100. Karena hasilnya harus mendekati 9.900, kita coba mengalikan 98 dengan 99, hasilnya adalah 9.702. Ternyata hasilnya benar. Jadi, nilai 𝑛 pada pola bilangan persegi panjang tersebut adalah 98. Jawab:
- 22. Pada pola bilangansegitiga, suku-sukunya sering dinyatakan dengan 𝑇𝑛. Untuk menentukan rumus pola atau suku ke-𝑛, perhatikan ilustrasi berikut! 1.3.3 Pola Bilangan Segitiga Pola bilangan segitiga sama dengan setengah dari pola bilangan persegi panjang, sehingga
- 23. Contoh: 1. Tentukan suku(pola) ke-12 pada pola bilangan segitiga! Jawab:
- 24. Contoh: 2. Jika suatusuku pada pola bilangan segitiga adalah 1.275, suku ke berapakah itu? Jawab:
- 25. 1.3.4 Pola BilanganSegitiga Pascal Segitiga Pascal merupakan pola bilangan segitiga dengan berbagai aplikasi yang diunggah oleh seorang matematikawan Perancis bernama Blaise Pascal (1623−1662) melalui Teori Binomialnya, ketika ia berusia belasan tahun. Koefisien pada hasil penjabaran pemangkatan suku dua (binomial) seperti (𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 − 𝑏)3, (𝑎 + 𝑏)4, (𝑎 − 𝑏)5, dan seterusnya dapat diselesaikan dengan memanfaatkan bilangan- bilangan yang terdapat pada baris-baris dalam segitiga Pascal.
- 26. A. Menemukan SegitigaPascal Segitiga Pascal
- 27. B. Keistimewaan SegitigaPascal 1. Pada pola segitiga Pascal terdapat pola-pola bilangan berikut: • Pola bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, . . . . • Pola bilangan segitiga, yaitu 1, 3, 6, 10, . . . . 2. Bilangan-bilangan pada setiap baris merupakan koefisien hasil penjabaran dari pemangkatan suku dua (𝑎 + 𝑏)𝑛, 3. Jumlah bilangan pada setiap baris menunjukkan banyak himpunan bagian dari suatu himpunan.
- 28. C. Jumlah Bilanganpada Baris Segitiga Pascal Jumlah bilangan pada setiap baris dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2, sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut. Pada segitiga Pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah: 2𝑛−1
- 29. Contoh: 1. Tentukan bariske-7 pada pola bilangan segitiga Pascal, kemudian tentukan jumlah bilangan pada baris tersebut! Jawab:
- 31. Contoh: 2. Pada polabilangan segitiga Pascal, baris keberapakah yang jumlah bilangannya 32? Jumlah bilangan pada baris ke-n = 2n – 1, maka: 2n – 1 = 32 2n – 1 = 25 n – 1 = 5 n = 5 + 1 n = 6 Jadi, baris pada segitiga Pascal yang jumlah bilangannya 32 adalah baris ke-6. Jawab:
- 32. D. Penggunaan SegitigaPascal Contoh: 1. Tentukan hasil pemangkatan suku dua berikut! a. (𝑎 + 𝑏)2 c. (𝑎 + 2𝑏)3 b. (𝑎 – 𝑏)3 d. (3𝑎 + 𝑏)4 Terlebih dahulu kita buat pola bilangan segitiga Pascal. Jawab:
- 34. Contoh: 2. Tentukan banyakhimpunan bagian dari A = {a, b, c, d, e} berikut! a. Mempunyai satu anggota. c. Mempunyai empat anggota. b. Mempunyai dua anggota. d. Banyak himpunan bagian seluruhnya. Jawab:
- 35. Perhatikan keterangan padapola bilangan segitiga Pascal di atas untuk himpunan dengan lima anggota, yaitu 1, 5, 10, 10, 5, 1. a. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 1 anggota adalah 5, yaitu {𝑎}, {𝑏}, {𝑐}, {𝑑}, dan {𝑒}. b. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 2 anggota adalah 10, yaitu 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑐 , 𝑎, 𝑑 , 𝑎, 𝑒 , 𝑏, 𝑐 , 𝑏, 𝑑 , 𝑏, 𝑒 , 𝑐, 𝑑 , {𝑐, 𝑒}, dan {𝑑, 𝑒}. c. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 4 anggota adalah 5, yaitu: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒}, {𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑒}, {𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, dan {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}. d. Banyak himpunan bagian dari {a, b, c, d, e} seluruhnya adalah: 2𝑛 = 25 (bukan 2𝑛−1) = 32.