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![Haskellのデータ型と関数は圏になる
対象=データ型 単位元律
Int, Bool, [Int], Maybe id . f = f = f . Id
Int,
結合律
射=関数 (f . g) . h = f . (g . h)
not :: Bool→Bool,
concat :: [[a]] → [a],
恒等射:
id 圏論の考え方を
射の合成=関数合成 適用できる
f.g](https://image.slidesharecdn.com/hama-cpl-090922065656-phpapp01/85/Introduction-to-Categorical-Programming-6-320.jpg)
![リストの構造に関する再帰
例: パターン
sum :: [Int] → Int 空リストの場合の値
sum [] = 0 consの場合の値を、
headの値と、tailに対して
sum (x:xs) =
関数を適用した結果から
x + sum xs 計算
コードで書くと:
length :: [a] → Int f :: [X] → Y
length [] = 1 f [] = n
length (x:xs) = f (x:xs) = c x (f xs)
1 + length xs](https://image.slidesharecdn.com/hama-cpl-090922065656-phpapp01/85/Introduction-to-Categorical-Programming-13-320.jpg)
![高階関数foldrによるパターンの抽象化
パターン: foldrを使った定義例:
f [] = n sum = foldr (+) 0
f (x:xs) = c x (f xs) length =
foldr (λ_ n → n) 0
高階関数として抽象化! xs ++ ys =
foldr :: (a→b→b) → b foldr (:) ys xs
→ [a] → b map f = foldr
foldr c n [] = n (λx xs → f x : xs) []
foldr c n (x:xs) =
c x (foldr c n xs)](https://image.slidesharecdn.com/hama-cpl-090922065656-phpapp01/85/Introduction-to-Categorical-Programming-14-320.jpg)
![リストの代数系
代数 = 型とその型の値を作る演算の組
リストの代数
型と二つの演算 (b, n :: b, c :: a→b→b)
具体例: ([a], [], (:)), (Int, 0, λ_ x → x+1)
準同型
代数 (b, n, c) から代数 (b’, n’, c’) への準同型 h
h :: b→b’ で以下を満たすもの
h n = n’
∀x::a, y::b. h (c x y) = c’ x (h y)](https://image.slidesharecdn.com/hama-cpl-090922065656-phpapp01/85/Introduction-to-Categorical-Programming-18-320.jpg)
![foldrとリスト型の本質
代数 ([a], [], (:)) の特別な性質 (普遍性)
任意の代数 (b,n,c) に対して、 ([a], [], (:)) から
(b,n,c) への、準同型 h が唯一つ存在 !
foldr c n はこの唯一つの準同型
foldr :: (a→b→b) → b → ([a]→b)
foldr c n [] = n
foldr c n (x : xs) = c x (foldr c n xs)
普遍性を持つ (b, n, c) がリスト型
これを満たせば実装は何でもいい。](https://image.slidesharecdn.com/hama-cpl-090922065656-phpapp01/85/Introduction-to-Categorical-Programming-19-320.jpg)
![Haskellのデータ型と関数は圏になる
対象=データ型 単位元律
Int, Bool, [Int], Maybe id . f = f = f . Id
Int,
結合律
射=関数 (f . g) . h = f . (g . h)
not :: Bool→Bool,
concat :: [[a]] → [a],
恒等射:
id 圏論の考え方を
射の合成=関数合成 適用できる
f.g](https://image.slidesharecdn.com/hama-cpl-090922065656-phpapp01/75/Introduction-to-Categorical-Programming-6-2048.jpg)
![リストの構造に関する再帰
例: パターン
sum :: [Int] → Int 空リストの場合の値
sum [] = 0 consの場合の値を、
headの値と、tailに対して
sum (x:xs) =
関数を適用した結果から
x + sum xs 計算
コードで書くと:
length :: [a] → Int f :: [X] → Y
length [] = 1 f [] = n
length (x:xs) = f (x:xs) = c x (f xs)
1 + length xs](https://image.slidesharecdn.com/hama-cpl-090922065656-phpapp01/75/Introduction-to-Categorical-Programming-13-2048.jpg)
![高階関数foldrによるパターンの抽象化
パターン: foldrを使った定義例:
f [] = n sum = foldr (+) 0
f (x:xs) = c x (f xs) length =
foldr (λ_ n → n) 0
高階関数として抽象化! xs ++ ys =
foldr :: (a→b→b) → b foldr (:) ys xs
→ [a] → b map f = foldr
foldr c n [] = n (λx xs → f x : xs) []
foldr c n (x:xs) =
c x (foldr c n xs)](https://image.slidesharecdn.com/hama-cpl-090922065656-phpapp01/75/Introduction-to-Categorical-Programming-14-2048.jpg)
![リストの代数系
代数 = 型とその型の値を作る演算の組
リストの代数
型と二つの演算 (b, n :: b, c :: a→b→b)
具体例: ([a], [], (:)), (Int, 0, λ_ x → x+1)
準同型
代数 (b, n, c) から代数 (b’, n’, c’) への準同型 h
h :: b→b’ で以下を満たすもの
h n = n’
∀x::a, y::b. h (c x y) = c’ x (h y)](https://image.slidesharecdn.com/hama-cpl-090922065656-phpapp01/75/Introduction-to-Categorical-Programming-18-2048.jpg)
![foldrとリスト型の本質
代数 ([a], [], (:)) の特別な性質 (普遍性)
任意の代数 (b,n,c) に対して、 ([a], [], (:)) から
(b,n,c) への、準同型 h が唯一つ存在 !
foldr c n はこの唯一つの準同型
foldr :: (a→b→b) → b → ([a]→b)
foldr c n [] = n
foldr c n (x : xs) = c x (foldr c n xs)
普遍性を持つ (b, n, c) がリスト型
これを満たせば実装は何でもいい。](https://image.slidesharecdn.com/hama-cpl-090922065656-phpapp01/75/Introduction-to-Categorical-Programming-19-2048.jpg)
Uploaded byMasahiro Sakai
Introduction to Categorical Programming
Masahiro Sakai's presentation at HAMA.jp <http: />.
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- 25. 原始帰納法 定義 primrec zs Zero = z primrec z s (Succ n) = s n (primrec z s n) fac' = primrec one (mult . Succ) これって本当に階乗になってる? fac’ Zero = primrec one (mult . Succ) Zero = one fac’ (Succ n) = primrec one (mult . Succ) (Succ n) = (mult . Succ) n (primrec one (mult . Succ) n) = (mult . Succ) n (fac’ n) = mult (Succ n) (fac’ n)
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- 28. 目次 なぜに圏論? Haskell での圏論プログラミング The Evolutionof a Haskell Programmer 圏論プログラミング言語 CPL
- 29. 圏論プログラミング言語 CPL CPL (CategoricalProgramming Language) 圏論に基づいたデータ型定義を持つプログラ ミング言語 実装: http://www.tom.sfc.keio.ac.jp/~sakai/hiki/? CPL
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- 32. -- タプル -- 自然数 right object prod(a,b) with left object nat with pr is pair is zero: 1 -> nat pi1: prod -> a succ: nat -> nat pi2: prod -> b end object; end object; -- 直和 (Either) -- 関数型 left object coprod(a,b) with right object exp(a,b) with case is curry is in1: a -> coprod ev: prod(exp,a) -> b in2: b -> coprod end object; end object;
- 33.